1° ano Ensino Médio

Olá alunos da escola João Queiroz. Esse material é complementar para esse período de turbulência devido ao Corona vírus. Não há necessidade de copiar os textos mas quero a resolução dos exercícios. Bom estudos a todos.

Progressão aritmética e geométrica: a progressão é uma sequência de números no qual a diferença entre um termo e seu precedente é sempre uma constante. Progressão geométrica é uma sequência de números em que o quociente entre um termo e seu precedente é sempre uma constante.

O que é Progressão?

O termo progressão se relaciona com a ideia de sucessividade. Na matemática, a progressão é caracterizada como uma sequência numérica de quantidades, isto é, que acontece de maneira sucessiva. Uma progressão é estabelecida por uma lei de formação, que se define em uma fórmula matemática.

A posição de um termo em uma sequência pode ser chamada de n (1ª, 2ª, 3ª, …, nª). Dizemos também que o primeiro e o último termo de uma sequência finita ( e ) são chamados de extremos de uma sequência. Podemos então representá-la da seguinte forma:

(a₁, a₂, a₃, a₄, … a_n)

Existem dois tipos de progressão: a Aritmética e a Geométrica.

Progressão Aritmética (PA)

A Progressão Aritmética (PA) é a sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é determinado pela soma do termo antecessor por uma constante r, chamada de razão. Utiliza-se a seguinte fórmula para determinar os termos da sequência:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

a_n= n-ésimo termo da sequência (n-ésimo é o número que ou o que ocupa a posição n em uma sequência)

a₁ = primeiro termo

n = posição do termo na sequência

r = razão

Para determinar a soma dos n primeiros termos de uma PA, utiliza-se a fórmula:

S_n= n . (a₁ + a_n) /  2

S_n = soma dos n primeiros termos de uma PA

n = posição do termo na sequência

a₁ = primeiro termo da sequência

a_n = n-ésimo termo da sequência

Termo Central da Progressão Aritmética

Em uma PA com número ímpar de termos, o termo central pode ser definido como sendo o termo que divide a PA em dois conjuntos de números de elementos iguais. O cálculo do termo central de uma PA é obtido através da média aritmética dos extremos da PA.

T_c= (a₁ + a_n) / 2

T_c = soma dos n primeiros termos de uma PA

a₁ = primeiro termo da sequência

a_n = último termo da sequência

Lembrando que o termo central só poder ser calculado em Progressões Aritméticas que são finitas.

Tipos de Progressão Aritmética

1. Progressão Aritmética Finita;
2. Progressão Aritmética Infinita;
3. Progressão Aritmética Crescente;
4. Progressão Aritmética Decrescente;
5. Progressão Aritmética Constante.

1. Progressão Aritmética Finita

É a PA que tem um número definido de termos. Por exemplo, uma PA de cinco termos na qual o termo inicial é 0 e a razão é 2:

PA (0, 2, 4, 6, 8)

2. Progressão Aritmética Infinita

A PA é infinita quando o domínio onde ela está é infinito. Veja o exemplo abaixo:

PA (10, 11, 12, 13, 14…)

3. Progressão Aritmética Crescente

Uma PA é crescente quando a razão entre os termos é positiva, ou seja, r > 0. Assim, cada novo termo é maior que o anterior.

4. Progressão Aritmética Decrescente

Quando a razão é negativa (r < 0), então a PA é decrescente, pois cada novo termo é menor que o anterior.

5. Progressão Aritmética Constante

A PA pode ser constante, se r = 0. Nessa situação, os termos são todos iguais.

Progressão Geométrica (PG)

Progressão Geométrica (PG) pode-se definir como uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, pode ser determinado através da multiplicação do termo anterior por uma razão q. A fórmula utilizada para a determinação dos termos de uma PG é:

a_n = a₁ . q^{n – 1}

a_n = n-ésimo termo da sequência

a₁ = primeiro termo da sequência

q = razão

n = posição do termo da sequência

Para determinar a soma dos n primeiros termos de uma PG, utiliza-se a fórmula:

S_n = a₁ . (qⁿ – 1) / q – 1

S_n = soma dos n primeiros termos de um PG

a₁ = primeiro termo da sequência

q = razão

n = posição do termo na sequência

As progressões geométricas também pode ser classificadas em finitas, infinitas, decrescentes, crescentes e constantes. Além dessas classificações, as progressões geométricas que possuem a razão negativa são chamadas de alternadas, porque seus termos são alternadamente positivos e negativos.

Fonte: https://beduka.com/blog/materias/matematica/progressao-aritmetica-e-geometrica/

 Lista de exercícios PA e PG
1. O valor de x, de modo que os números 3x – 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em PA é:
 A) 1
 B) 0
 C) -1
 D) –2
2. O centésimo número natural par não negativo é:
 A) 200
 B) 210
 C) 198
 D) 196
3. Quantos números ímpares há entre 18 e 272?
 A) 100
 B) 115
 C) 127
 D) 135
4. Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão
aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local?
 A) R$ 17,80
 B) R$ 20,00
 C) R$ 18,00
 D) R$ 18,70
5. Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas?
 A) 6
 B) 8
C) 10
 D) 12
6. Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número de coelhas da 7ª geração que serão descendentes de uma única coelha?
 A) 3000
 B) 1840
 C) 2187
 D) 3216
7. Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?
 A) R$ 12 700,00
 B) R$ 13 000,00
 C) R$ 11 800,00
 D) R$ 13 200,00

8. Segundo a lei de Malthus, a população humana cresce em progressão geométrica, enquanto as fontes de alimento crescem em progressão aritmética.
 a) Explique o significado matemático dos termos progressão geométrica e progressão aritmética.
 b) O que aconteceria à humanidade, segundo à lei de Malthus?

9. Isis abriu uma caderneta de poupança no dia 1/2/2000 com um depósito inicial de R$ 1000,00. Suponha que os rendimentos da poupança sejam fixos e iguais a 3% ao mês.
 a) Qual o montante dessa conta em 1/8/2000?
 b) Em quantos meses ela terá um montante aproximadamente R$ 1 512,60?

10. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de:
 a) 480 m
b) 600 m

11. (UFMG)Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada 4 meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos.Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos a ser vendida é
 A) 75%
 B) 80%
 C) 83,33%
 D) 87,5%

12. Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. O primeiro termo dessa PG é
 A) 1
 B) 2
 C) 3
 D) 4

13. A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?

14. Insira quatro meios geométricos entre 1 e 243.

15. O salário inicial de um funcionário é de R$ 1 200,00. Supondo que esse funcionário receba um aumento de 5% a cada mês subsequente, de quanto será o salário dele após 6 meses?

16. São dados quatro números positivos: 12, x, y, 4. Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três últimos estão em PG, achar x e y.

17. Um professor de educação física organizou seus 210 alunos para formar um triângulo. Colocou um aluno na primeira linha,
dois na segunda, três na terceira, e assim por diante. O número de linhas é :
 A) 10
 B) 15
 C) 20
 D) 30
 E) NRA
18. A razão da P.G. (a, a + 3, 5a – 3, 8a) é (1,0)
 A) 1
 B) 2
 C) 3
 D) 4
 E) NRA
19. Quantos termos tem a PA (5, 10, ..., 785)?
 A) 157
 B) 205
 C) 138
 D) 208
20. Um atleta corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67 500 metros, o número de metros percorridos no 3° dia foi
 A) 1 000
 B) 2 000
 C) 1 500
 D) 2 500
 E) 2 600
21. Uma certa espécie de bactéria divide-se em duas a cada 20 minutos, e uma outra, a cada 30 minutos. Determine, após 3 horas,
a razão entre o número de bactérias da 1ª e o da 2ª espécies, originadas por uma bactéria de cada espécie.
 A) 8
 B) 4
 C) 2
 D) 0
 E) 12
22. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de 480 m.
23. O valor de x, de modo que os números 3x – 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em PA é:
 A) 1
 B) 0
 C) –1
 D) –2
25. Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros são 1 – a, -a, . O quarto termo dessa progressão é:
 A) 1
 B) 4
 C) 2
 D) 3
26. Um pintor consegue pintar uma área de 5 m² no primeiro dia de serviço e, a cada dia, ele pinta 2 m²  a mais do que pintou no dia anterior. Em que dia ele terá conseguido pintar 31 m2 ?
 A) 11°
 B) 12°
 C) 13°
 D) 14°
27. O valor de x , de modo que a seqüência (3x +1, 34 - x
, 33x +1) seja uma progressão geométrica é:
 A) 1
 B) 2
 C) 3
 D) 4
28. Em um rebanho de
15 000 reses, uma foi infectada pelo vírus “mc1”. Cada animal infectado vive dois dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se cada rês é infectada uma única vez, em quanto tempo o “mc1” exterminará a metade do rebanho?
 A) 15 dias
 B) 16 dias
 C) 17 dias
 D) 18 dias
Quanto terminarem os exercícios postarei a resolução comentada em meu blog ou estudaremos uma maneira de fazer uma videoconferência.