Eletiva arte e matemática

Arte com matemática

1° ano Ensino Médio

Olá alunos da escola João Queiroz. Esse material é complementar para esse período de turbulência devido ao Corona vírus. Não há necessidade de copiar os textos mas quero a resolução dos exercícios. Bom estudos a todos.

Progressão aritmética e geométrica: a progressão é uma sequência de números no qual a diferença entre um termo e seu precedente é sempre uma constante. Progressão geométrica é uma sequência de números em que o quociente entre um termo e seu precedente é sempre uma constante.

O que é Progressão?

O termo progressão se relaciona com a ideia de sucessividade. Na matemática, a progressão é caracterizada como uma sequência numérica de quantidades, isto é, que acontece de maneira sucessiva. Uma progressão é estabelecida por uma lei de formação, que se define em uma fórmula matemática.

A posição de um termo em uma sequência pode ser chamada de n (1ª, 2ª, 3ª, …, nª). Dizemos também que o primeiro e o último termo de uma sequência finita ( e ) são chamados de extremos de uma sequência. Podemos então representá-la da seguinte forma:

(a₁, a₂, a₃, a₄, … a_n)

Existem dois tipos de progressão: a Aritmética e a Geométrica.

Progressão Aritmética (PA)

A Progressão Aritmética (PA) é a sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é determinado pela soma do termo antecessor por uma constante r, chamada de razão. Utiliza-se a seguinte fórmula para determinar os termos da sequência:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

a_n= n-ésimo termo da sequência (n-ésimo é o número que ou o que ocupa a posição n em uma sequência)

a₁ = primeiro termo

n = posição do termo na sequência

r = razão

Para determinar a soma dos n primeiros termos de uma PA, utiliza-se a fórmula:

S_n= n . (a₁ + a_n) /  2

S_n = soma dos n primeiros termos de uma PA

n = posição do termo na sequência

a₁ = primeiro termo da sequência

a_n = n-ésimo termo da sequência

Termo Central da Progressão Aritmética

Em uma PA com número ímpar de termos, o termo central pode ser definido como sendo o termo que divide a PA em dois conjuntos de números de elementos iguais. O cálculo do termo central de uma PA é obtido através da média aritmética dos extremos da PA.

T_c= (a₁ + a_n) / 2

T_c = soma dos n primeiros termos de uma PA

a₁ = primeiro termo da sequência

a_n = último termo da sequência

Lembrando que o termo central só poder ser calculado em Progressões Aritméticas que são finitas.

Tipos de Progressão Aritmética

1. Progressão Aritmética Finita;
2. Progressão Aritmética Infinita;
3. Progressão Aritmética Crescente;
4. Progressão Aritmética Decrescente;
5. Progressão Aritmética Constante.

1. Progressão Aritmética Finita

É a PA que tem um número definido de termos. Por exemplo, uma PA de cinco termos na qual o termo inicial é 0 e a razão é 2:

PA (0, 2, 4, 6, 8)

2. Progressão Aritmética Infinita

A PA é infinita quando o domínio onde ela está é infinito. Veja o exemplo abaixo:

PA (10, 11, 12, 13, 14…)

3. Progressão Aritmética Crescente

Uma PA é crescente quando a razão entre os termos é positiva, ou seja, r > 0. Assim, cada novo termo é maior que o anterior.

4. Progressão Aritmética Decrescente

Quando a razão é negativa (r < 0), então a PA é decrescente, pois cada novo termo é menor que o anterior.

5. Progressão Aritmética Constante

A PA pode ser constante, se r = 0. Nessa situação, os termos são todos iguais.

Progressão Geométrica (PG)

Progressão Geométrica (PG) pode-se definir como uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, pode ser determinado através da multiplicação do termo anterior por uma razão q. A fórmula utilizada para a determinação dos termos de uma PG é:

a_n = a₁ . q^{n – 1}

a_n = n-ésimo termo da sequência

a₁ = primeiro termo da sequência

q = razão

n = posição do termo da sequência

Para determinar a soma dos n primeiros termos de uma PG, utiliza-se a fórmula:

S_n = a₁ . (qⁿ – 1) / q – 1

S_n = soma dos n primeiros termos de um PG

a₁ = primeiro termo da sequência

q = razão

n = posição do termo na sequência

As progressões geométricas também pode ser classificadas em finitas, infinitas, decrescentes, crescentes e constantes. Além dessas classificações, as progressões geométricas que possuem a razão negativa são chamadas de alternadas, porque seus termos são alternadamente positivos e negativos.

Fonte: https://beduka.com/blog/materias/matematica/progressao-aritmetica-e-geometrica/

 Lista de exercícios PA e PG
1. O valor de x, de modo que os números 3x – 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em PA é:
 A) 1
 B) 0
 C) -1
 D) –2
2. O centésimo número natural par não negativo é:
 A) 200
 B) 210
 C) 198
 D) 196
3. Quantos números ímpares há entre 18 e 272?
 A) 100
 B) 115
 C) 127
 D) 135
4. Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão
aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local?
 A) R$ 17,80
 B) R$ 20,00
 C) R$ 18,00
 D) R$ 18,70
5. Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas?
 A) 6
 B) 8
C) 10
 D) 12
6. Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número de coelhas da 7ª geração que serão descendentes de uma única coelha?
 A) 3000
 B) 1840
 C) 2187
 D) 3216
7. Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?
 A) R$ 12 700,00
 B) R$ 13 000,00
 C) R$ 11 800,00
 D) R$ 13 200,00

8. Segundo a lei de Malthus, a população humana cresce em progressão geométrica, enquanto as fontes de alimento crescem em progressão aritmética.
 a) Explique o significado matemático dos termos progressão geométrica e progressão aritmética.
 b) O que aconteceria à humanidade, segundo à lei de Malthus?

9. Isis abriu uma caderneta de poupança no dia 1/2/2000 com um depósito inicial de R$ 1000,00. Suponha que os rendimentos da poupança sejam fixos e iguais a 3% ao mês.
 a) Qual o montante dessa conta em 1/8/2000?
 b) Em quantos meses ela terá um montante aproximadamente R$ 1 512,60?

10. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de:
 a) 480 m
b) 600 m

11. (UFMG)Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada 4 meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos.Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos a ser vendida é
 A) 75%
 B) 80%
 C) 83,33%
 D) 87,5%

12. Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. O primeiro termo dessa PG é
 A) 1
 B) 2
 C) 3
 D) 4

13. A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?

14. Insira quatro meios geométricos entre 1 e 243.

15. O salário inicial de um funcionário é de R$ 1 200,00. Supondo que esse funcionário receba um aumento de 5% a cada mês subsequente, de quanto será o salário dele após 6 meses?

16. São dados quatro números positivos: 12, x, y, 4. Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três últimos estão em PG, achar x e y.

17. Um professor de educação física organizou seus 210 alunos para formar um triângulo. Colocou um aluno na primeira linha,
dois na segunda, três na terceira, e assim por diante. O número de linhas é :
 A) 10
 B) 15
 C) 20
 D) 30
 E) NRA
18. A razão da P.G. (a, a + 3, 5a – 3, 8a) é (1,0)
 A) 1
 B) 2
 C) 3
 D) 4
 E) NRA
19. Quantos termos tem a PA (5, 10, ..., 785)?
 A) 157
 B) 205
 C) 138
 D) 208
20. Um atleta corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67 500 metros, o número de metros percorridos no 3° dia foi
 A) 1 000
 B) 2 000
 C) 1 500
 D) 2 500
 E) 2 600
21. Uma certa espécie de bactéria divide-se em duas a cada 20 minutos, e uma outra, a cada 30 minutos. Determine, após 3 horas,
a razão entre o número de bactérias da 1ª e o da 2ª espécies, originadas por uma bactéria de cada espécie.
 A) 8
 B) 4
 C) 2
 D) 0
 E) 12
22. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de 480 m.
23. O valor de x, de modo que os números 3x – 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em PA é:
 A) 1
 B) 0
 C) –1
 D) –2
25. Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros são 1 – a, -a, . O quarto termo dessa progressão é:
 A) 1
 B) 4
 C) 2
 D) 3
26. Um pintor consegue pintar uma área de 5 m² no primeiro dia de serviço e, a cada dia, ele pinta 2 m²  a mais do que pintou no dia anterior. Em que dia ele terá conseguido pintar 31 m2 ?
 A) 11°
 B) 12°
 C) 13°
 D) 14°
27. O valor de x , de modo que a seqüência (3x +1, 34 - x
, 33x +1) seja uma progressão geométrica é:
 A) 1
 B) 2
 C) 3
 D) 4
28. Em um rebanho de
15 000 reses, uma foi infectada pelo vírus “mc1”. Cada animal infectado vive dois dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se cada rês é infectada uma única vez, em quanto tempo o “mc1” exterminará a metade do rebanho?
 A) 15 dias
 B) 16 dias
 C) 17 dias
 D) 18 dias
Quanto terminarem os exercícios postarei a resolução comentada em meu blog ou estudaremos uma maneira de fazer uma videoconferência.

6° ANO EF II

Olá alunos dos 6° anos da escola Pedro Torres, estou postando esse material complementar para ajudar na resolução das atividades nesse período de pandemia. Não se preocupem em copiar os textos mas quero os exercícios com as resoluções. Bons estudos. A correção poderemos fazer no nosso grupo de whaths ou verei outra forma para que a grande maioria possa participar. 

Fração: 

Tipos e Simplificação

Fração é a forma de dividir alguma coisa através da razão de dois números inteiros. Dessa forma, nada mais é do que uma divisão onde o dividendo é numerador e o divisor é o denominador.

Quando dividimos uma pizza, por exemplo, estamos fracionando a pizza. Cada fatia representa uma parte da pizza, ou seja, uma fração. Geralmente ela é dividida em 8 pedaços, então cada pedaço de uma pizza representa ¹⁄₈ (um oitavo) de uma pizza.

Como representar uma fração?

Podemos representar uma fração através da escrita em números ou de forma visual, através de desenhos para melhor o entendimento. Vamos mostrar as duas formas.

Representação escrita de frações

Uma fração é representada, de forma escrita, por dois números inteiros, sendo um o numerador e o outro o denominador.
Exemplo:
Considere

onde a é o numerador, o número que fica acima, e b, o denominador, o número que fica embaixo.

Representação gráfica de frações

As frações também são representadas de forma gráfica. O aluno pode encontrar outra forma de representação gráfica, como, por exemplo, retângulos.
Nós vamos mostrar a forma mais usual de representação gráfica, que são os gráficos de pizza.
Vejas alguns exemplos:

(leia-se: “um sobre dois” ou “um meio”)

(leia-se: “três quartos”)

(leia-se: “um quarto”)

(leia-se: “um oitavo”)

(leia-se: “cinco oitavos”)

Imagine uma pizza dividida em oito pedaços iguais, e caso exista quatro pessoas para comer esta pizza. Se todos comerem dois pedaços, assim cada pessoa comeu ²⁄₈ (dois oitavos) de pizza.
Agora imagine que oito pessoas comeram um pedaço cada uma, dessa forma, cada pessoa comeu ¹⁄₈ (um oitavo) de pizza.

Tipos de frações

Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade. Se quisermos encontrar frações que são equivalentes para uma fração, basta multiplicarmos o numerador e denominador pelo mesmo número natural diferente de zero.
Exemplo:
Encontrar frações equivalentes para ¹⁄₃. Vamos multiplicar ¹⁄₃ por 2, 3, 4 e 5.

Assim, ²⁄₆, ³⁄₉, ⁴⁄₁₂, ⁵⁄₁₅ são frações equivalentes para ¹⁄₃.
Para verificar se duas frações são equivalentes basta multiplicar em forma cruzada.
Vamos verificar se ¹⁄₃ é realmente equivalente a ⁵⁄₁₅.

Obtemos uma igualdade, portanto ¹⁄₃ e ⁵⁄₁₅ são realmente equivalentes.

Frações Próprias

São frações quando o numerador é menor que o denominador.
Exemplo: ¹⁄₂, ³⁄₈, ⁵⁄₈, etc.

Frações Impróprias

São frações quando o numerador é maior ou igual ao denominador.
Exemplo: ⁵⁄₃, ⁷⁄₂, ²⁄₂, etc.

Frações Aparentes

São frações onde o numerador é múltiplo do denominador.
Exemplo: ⁹⁄₃, ⁶⁄₂, ²⁰⁄₅, etc.
Veja que se multiplicarmos o denominador por um número natural encontramos o numerador, por exemplo: ⁹⁄₃, o numerador é o denominador multiplicado por 3.
Frações aparentes são números inteiros representados em fração, isto é, 3 também pode ser representado por ⁹⁄₃ ou ⁶⁄₂.

Frações Mistas

São frações onde parte dela é um número inteiro e a outra parte é uma fração.
Exemplo:

é equivalente a ⁸⁄₃.

é equivalente a ²¹⁄₅, veja a seguir no próximo tópico essa equivalência.

Conversão de Frações Mistas e Impróprias

Conversão de fração imprópria em fração mista

Para transformar uma fração imprópria em uma mista, basta dividir a fração pelo denominador, sendo que a parte inteira será o quociente, o resto será o numerador e o divisor será o denominador.
Exemplo:
Considere a fração imprópria ²¹⁄₅.

Dessa forma, o quociente 4 vira a parte inteira, o resto 1, o numerador, e o divisor 5 será o denominador. Assim, temos a fração mista.

equivalente a ²¹⁄₅.

Conversão de fração mista em fração imprópria

Para fazer o processo inverso, isto é, transformar a fração mista em uma imprópria, basta conservar o denominador, depois multiplicá-lo pela parte inteira e somar com o numerador.
Exemplo:
Considere a fração mista do exemplo anterior

vamos transformá-la de volta para ²¹⁄₅. Dessa forma, conservamos o denominador 5, multiplicamos o denominador 5 por 4 e somamos com o numerador 1. Veja:

Frações Compostas ou Complexas

Frações compostas ou complexas são frações onde o numerador e o denominador também são frações.
Exemplo:

Frações Unitárias

Frações unitárias sãos frações onde o numerador é o número 1 e o denominador pode ser qualquer valor inteiro maior que zero.
Exemplo: ¹⁄₅, ¹⁄₁₀₀, etc.

Frações Decimais

Frações decimais são frações onde o denominador é uma potência positiva de 10 e estas frações podem ser representadas também na forma decimal.
Exemplos:

Frações Ordinárias

Frações ordinárias são frações da forma

sendo a um inteiro qualquer e b um inteiro positivo maior que zero.
Exemplo: –¹⁰⁄₃, ²⁄₅, etc.

Simplificação de Frações e Frações Irredutíveis

Simplificação de frações é uma redução da fração original em outra fração equivalente com números menores.
Para simplificar uma fração temos que dividir o numerador e o denominador da fração pelo máximo divisor comum aos números em questão.
Quando temos uma fração com valores altos no numerador e denominador podemos simplificá-la encontrando uma fração equivalente com valores menores e irredutível.
A simplificação ajuda na resolução de problemas complexos, de forma que encontremos a solução mais rapidamente. Vamos entender com um exemplo:
Exemplo:
Considere a fração ²⁰⁄₁₀₀. Podemos simplificá-la dividindo o numerador e denominador pelo mesmo valor, esse valor é o máximo divisor comum, entenda como encontrar aqui, o MDC de 20 e 100 é 20:

Dessa forma, ¹⁄₅ é uma fração equivalente e simplificada de ²⁰⁄₁₀₀, também chamada de fração irredutível, isto é, não é mais possível reduzi-la, simplificá-la.
Também pode ser simplificada dividindo o numerador e denominador pelo menor número que divide ambos. Dessa forma não é preciso calcular o MDC. Porém, neste caso, temos mais trabalho.
Exemplo:

O que fizemos foi dividir o numerador e denominador da fração pelo menor número que divide ambos, neste caso 2. Depois continuamos dividimos por 2, pois ainda era possível continuar dividindo por esse valor.
Por fim, obtemos ⁵⁄₂₅ que somente podiam ser divididos por 5. Encontramos a fração irredutível ¹⁄₅ que não pode mais ser simplificada.
Portanto, podemos dizer que ²⁰⁄₁₀₀ é equivalente a ¹⁄₅ ou que ¹⁄₅ é a fração simplificada ou irredutível de ²⁰⁄₁₀₀.

Comparação de frações

Comparação de frações é uma forma de analisar qual delas representam a maior quantidade ou a maior parte de um todo. Existem duas formas de comparar frações, veja:

Denominadores iguais

Se os denominadores forem iguais basta analisar o numerador.
Exemplo:
Considerem-se as frações: ³⁄₅ e ¹⁄₅
Os denominadores são iguais, então vamos analisar somente os numeradores. Então, como 3 é maior que 1, assim:

Podemos entender assim: considere um bolo dividido em 5 pedaços. Se eu comer 3 pedaços e meu irmão comer 1 pedaço, então eu comi mais que ele. Logo: ³⁄₅ maior que ¹⁄₅.

Denominadores diferentes

Se os denominadores forem diferentes temos que utilizar uma regra básica que faz com que as frações fiquem com denominadores iguais e possamos utilizar o primeiro caso.
Exemplo:
Considerem-se as frações: ⁵⁄₂ e ⁷⁄₃
Estas frações têm denominadores diferentes e não podemos utilizar o primeiro caso. Para transformá-las em frações com denominadores iguais, pegamos o denominador de uma fração e multiplicamos na outra.Veja:
⁵⁄₂ tem denominador 2, vamos multiplicar ⁷⁄₃ por 2; ⁷⁄₃ tem denominador 3, vamos multiplicar ⁵⁄₂ por 3;
Portanto,

Dessa forma, temos duas frações com denominadores iguais e podemos utilizar o primeiro caso. Então, temos que

Portanto,

Simples, não é?

Exercícios

Responda os exercícios de frações para fixar o aprendizado.

Disponível em: < https://matematicabasica.net 

MA091 – Matemática básica Primeiro semestre de 2020.

Primeira lista de exercícios. 

Frações. Operações com horas e com ângulos. 

1. Um grupo possui 12 pessoas, das quais 8

são mulheres e 4 são homens. Indique que 

fração do total de pessoas o número de homens representa. Faça o mesmo com o grupo de mulheres.

2. Escreva as frações abaixo por extenso.

a) 1/5.

b) 3/8.

c) 7/20.

d) 5/100.

e) 125/1000.

3. Calcule

a) 1/3 de 42.

b) 1/8 de 92.

c) 4/5 de 65.

d) 9/7 de 63.

4. 104 alunos de um curso são destros. Se o  1/9 dos alunos são canhotos, quantos estudantes tem o curso?

5. Se 5/6 de um número são 350, calcule 4/7 desse número. 

6. Converta os números abaixo em frações.

a) 3 e 4/7.

b) 5 e 3/4.

c) 2 e 9/12.

7. Escreva duas frações equivalentes a cada 

fração abaixo. 

a) 1/3.

b) 2/5

c) 5/4.

8. Escreva as frações do exercício 7 no 

formato decimal.

9. Escreva cada fração abaixo na forma mais 

simples possível. 

a) 6/12.

b) 15/25

c) 4/24.

d) 35/14.

10. Simplifique a fração 16/64 dividindo o 

numerador e o denominador por 2  sucessivas vezes.

11. Simplifique a fração 36/54 dividindo o 

numerador por 2 ou por 3 sucessivas vezes.

12. Usando o método das divisões sucessivas, 

simplifique as frações

a) 18/42.

b) 24/32.

c) 4/20.

13. Depois de fatorar os números, calcule o 

máximo divisor comum entre

a) 45 e 63.

b) 30 e 75.

c) 42 e 105.

14. Simplifique as frações

a) 45/63.

b) 75/30.

c) 42/105.

15. Simplifique as frações 42/105 e 36/90 e 

verifique se elas são equivalentes.

16. Calcule as expressões abaixo e simplifique 

o resultado quando possível.

a) 1/2 + 3/2.

b) 4/6 – 1/6.

c) 3/4 + 1.

Bons estudos.